$$ \lim_{x \to a} f(x) = L $$

Se lee como: "El límite de la función f(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝒶, es igual a L."

• \( \lim \text{: Es la instrucción matemática.} \)
• \(x \to a\): Significa que la variable \(x\) se está acercando al valor \(a\), pero nunca es exactamente \(a\).
• L: Es la respuesta, el destino final al que apunta la función.

El límite principal \( \lim_{x \to a} f(x) \) solo existe si los dos límites laterales son exactamente iguales.

Si \( \lim_{x \to a^-} f(x) = L \) y \( \lim_{x \to a^+} f(x) = L \), entonces el límite total es \( L \).

Si la izquierda te da \( 5 \) y la derecha te da \( 3 \), decimos que el límite no existe.

Imagina que tenemos una función dividida en dos partes (una función a trozos):

$$ f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 2 \\ 5 & \text{si } x \ge 2 \end{cases} $$

Queremos averiguar si existe el límite general cuando \( x \) se acerca a \( 2 \). Para ello, obligatoriamente debemos evaluar ambos lados:

1. Por la izquierda (\( x \to 2^- \)): Nos acercamos usando valores un poco menores a 2 (como 1.99). La regla dice que para los números menores a 2 debemos usar la fórmula \( x + 1 \):

$$ \lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 2 + 1 = 3 $$

2. Por la derecha (\( x \to 2^+ \)): Nos acercamos usando valores un poco mayores a 2 (como 2.01). La regla dice que para cualquier número mayor o igual a 2, el resultado es directamente una constante, es decir, 5:

$$ \lim_{x \to 2^+} 5 = 5 $$

Conclusión: Como el camino de la izquierda nos lleva al valor \( 3 \) y el de la derecha nos lleva al \( 5 \), los dos amigos nunca se encuentran en el puente. Los límites laterales son diferentes, por lo tanto, el límite general no existe:

$$ \lim_{x \to 2} f(x) = \text{No existe} $$

Veamos otra función a trozos para analizar qué pasa cuando nos acercamos a \( x = 2 \):

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 2 \\ 2x & \text{si } x \ge 2 \end{cases} $$

Aplicamos nuestra regla de oro y evaluamos ambos caminos por separado:

1. Por la izquierda (\( x \to 2^- \)): Nos acercamos con valores menores a 2, por lo que usamos la regla de arriba (\( x^2 \)):

$$ \lim_{x \to 2^-} (x^2) = (2)^2 = 4 $$

2. Por la derecha (\( x \to 2^+ \)): Nos acercamos con valores mayores a 2, así que usamos la regla de abajo (\( 2x \)):

$$ \lim_{x \to 2^+} (2x) = 2(2) = 4 $$

Conclusión: En este caso, el camino de la izquierda nos lleva a la altura 4, y el camino de la derecha también nos lleva exactamente a la misma altura 4. Como ambos amigos llegan al mismo punto y se encuentran, declaramos oficialmente que el límite sí existe:

$$ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 $$

Problema: Calcular \( \lim_{x \to 3} (x^2 - 2x) \)

Como no hay fracciones ni peligro de dividir entre cero, cambiamos la \( x \) por el \( 3 \) inmediatamente:

$$ = (3)^2 - 2(3) $$ $$ = 9 - 6 = 3 $$

Resultado: El límite es \( 3 \). Gráficamente, cuando la curva se acerca a la coordenada 3 en \( x \), su altura en \( y \) apunta al 3.

Problema: Calcular \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)

Paso 1 (Sustituyendo): Si intentamos resolverlo directamente reemplazando la \( x \) por el 2, la matemática colapsa:

$$ \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0} \quad \text{(¡Crash! Indeterminación)} $$

Paso 2 (Factorizando): Miramos la parte de arriba: \( x^2 - 4 \) es una "Diferencia de Cuadrados Perfectos". El álgebra nos dice que podemos reescribirla abriendo dos paréntesis conjugados:

$$ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) $$

Colocamos esta nueva versión en nuestro límite original:

$$ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} $$

Paso 3 (Cancelar): Nota cómo el bloque \( (x - 2) \) se encuentra multiplicando arriba y también dividiendo abajo. Al ser idénticos, los simplificamos eliminándolos por completo de la ecuación:

$$ \lim_{x \to 2} (x + 2) $$

Paso 4 (Volver a sustituir): Con la división por cero completamente eliminada, volvemos a intentar la sustitución directa introduciendo el 2:

$$ = 2 + 2 = 4 $$

Resultado Final: El límite es \( 4 \). Aunque la función original tenía un "agujero" prohibido exactamente en el punto 2, acabamos de descubrir que la gráfica por ambos lados se dirigía con precisión hacia la altura 4.

Imagina que tienes 1 pizza y la divides entre 2 personas, les toca media pizza. Si la divides entre 100 personas, les toca una migaja. ¿Qué pasa si divides 1 pizza entre infinitas personas?

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

¡Les toca prácticamente nada! Cualquier número dividido entre un número infinitamente grande, siempre tiende a cero.

Problema: Calcular \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x - 7}{2x^2 - x} \)

Paso 1: Identificamos a los "jefes" (los términos con el exponente mayor). Arriba es \( 3x^2 \) y abajo es \( 2x^2 \).

Paso 2: Ignoramos a los demás, porque el infinito de \( x^2 \) aplasta a todos los demás números pequeños:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{2x^2} $$

Paso 3: Cancelamos \( x^2 \) arriba y abajo:

$$ = \frac{3}{2} $$

Resultado: La gráfica se estabiliza en la altura 1.5.

Problema: Calcular \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{x^3 + 1} \)

Aquí el jefe de abajo (\( x^3 \)) es mucho más poderoso que el jefe de arriba (\( 4x \)). Como el denominador crece infinitamente más rápido que el numerador, toda la fracción se desploma hacia cero (aplicando la regla de la pizza):

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^2} = 0 $$

Problema: Calcular \( \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 2x}{3x^2 - 7} \)

Paso 1 (El choque de titanes): Si sustituimos el infinito directamente, nos queda un infinito gigante arriba y otro infinito gigante abajo. ¡El sistema colapsa porque no sabe qué infinito gana!

$$ \frac{\infty}{\infty} \quad \text{(¡Crash! Indeterminación)} $$

Paso 2 (El "Hack" Algebraico): La regla matemática oficial para vencer esto es dividir absolutamente todos los términos de la fracción entre la \( x \) que tenga el exponente más grande. En este problema, la mayor es \( x^2 \):

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{7}{x^2}} $$

Paso 3 (Simplificar las letras): Cancelamos las \( x \) donde sea posible aplicando leyes de los exponentes:

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{3 - \frac{7}{x^2}} $$

Paso 4 (Aplicar la Regla de la Pizza): Ahora volvemos a aplicar el límite hacia el infinito. Cualquier número dividido entre infinito (como repartir 2 o 7 pizzas entre infinitas personas) se vuelve directamente cero y desaparece:

$$ = \frac{5 + 0}{3 - 0} = \frac{5}{3} $$

Resultado Final: El límite es \( \frac{5}{3} \). Al usar álgebra, esquivamos la indeterminación y demostramos matemáticamente por qué el truco de "solo fijarse en los jefes" funciona a la perfección en la vida real.