Derivadas

Contenido de esta lección

1. ¿Qué es una Derivada?
2. Notación y Definición Formal
3. Reglas Básicas de Derivación
4. Derivadas de Funciones Exponenciales
5. Derivadas de Funciones Trigonométricas
6. Tabla Resumen
7. Herramientas Interactivas

La derivada mide cómo cambia una función en cada instante. Es la herramienta central del cálculo diferencial y la base del análisis matemático moderno.

1. ¿Qué es una Derivada?

La derivada de una función mide la tasa de cambio instantánea de esa función en un punto dado. Geométricamente, representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

📈

Tasa de cambio

¿Qué tan rápido cambia $f(x)$ cuando $x$ aumenta un poquito?

📐

Pendiente tangente

La recta que "toca" la curva exactamente en un punto, sin cruzarla.

⚡

Cambio instantáneo

No el promedio entre dos puntos, sino el valor exacto en un instante preciso.

2. Notación y Definición Formal

Existen varias formas equivalentes de escribir la derivada en los libros de texto:

Notaciones equivalentes

Notación de Lagrange (prima): $ f'(x) $ o $ y' $
Notación de Leibniz: $ \frac{dy}{dx} $
Operador diferencial: $ \frac{d}{dx} [f(x)] $
Notación de Newton: $ \dot{y} $ (usada principalmente en física para el tiempo)

Definición formal (Por Límite)

Matemáticamente, la derivada nace de evaluar el límite cuando la distancia entre dos puntos se vuelve casi cero:

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$

3. Reglas Básicas de Derivación

No usamos el límite para cada problema. Utilizamos estas reglas directas:

Fórmula

$$ \frac{d}{dx} [c] = 0 $$

Ejemplo: Si $ f(x) = 7 $, entonces $ f'(x) = 0 $

Una constante no cambia (es una línea plana), así que su tasa de cambio siempre es cero.

Fórmula

$$ \frac{d}{dx} [x^n] = n \cdot x^{n-1} $$

Ejemplos:

$ f(x) = x^4 \quad \rightarrow \quad f'(x) = 4x^3 $
$ f(x) = x \quad \rightarrow \quad f'(x) = 1 $
$ f(x) = x^{-2} \quad \rightarrow \quad f'(x) = -2x^{-3} $

El truco es simple: baja el exponente multiplicando al frente y réstale 1. Es la regla más usada en cálculo.

Fórmula

$$ \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $$

Ejemplo:

$$ f(x) = x^3 + 5x^2 - 2x + 1 $$ $$ f'(x) = 3x^2 + 10x - 2 $$

Fórmula

$$ \frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$

Ejemplo: $ h(x) = x^2 \cdot \sin(x) $

$$ h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) $$

Fórmula

$$ \frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $$

Ejemplo: $ h(x) = \frac{\sin(x)}{x} $

$$ h'(x) = \frac{\cos(x) \cdot x - \sin(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} $$

Fórmula

$$ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

Ejemplo: $ h(x) = (3x + 1)^5 $

$$ h'(x) = 5(3x + 1)^4 \cdot 3 = 15(3x + 1)^4 $$

Deriva la función exterior manteniendo la interior intacta, luego multiplica por la derivada de la interior.

4. Derivadas de Funciones Exponenciales

Paso a paso — La Regla de la Cadena en Exponenciales

Problema: Derivar $ f(x) = e^{2x} $

Paso 1: Identificar la función exterior: $ e^u $
Paso 2: Identificar la función interior: $ u = 2x $ (Su derivada es $ u' = 2 $)
Paso 3: Aplicar regla de la cadena: La derivada de $ e^u $ es $ e^u \cdot u' $.

$$ f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} $$

Función	Derivada
$ e^x $	$ e^x $
$ e^{kx} $	$ k \cdot e^{kx} $
$ a^x $	$ a^x \cdot \ln(a) $
$ \ln(x) $	$ \frac{1}{x} $
$ \log_a(x) $	$ \frac{1}{x \cdot \ln(a)} $

💡 Nota: La función $e^x$ es la única función que es su propia derivada. Es por eso que el número de Euler ($e$) es tan especial en matemáticas.

5. Derivadas de Funciones Trigonométricas

Función	Derivada	Regla clave
$ \sin(x) $	$ \cos(x) $	Gira +90°
$ \cos(x) $	$ -\sin(x) $	Gira +90° con signo negativo
$ \tan(x) $	$ \sec^2(x) $	Equivale a $ \frac{1}{\cos^2(x)} $
$ \sec(x) $	$ \sec(x)\tan(x) $
$ \csc(x) $	$ -\csc(x)\cot(x) $
$ \cot(x) $	$ -\csc^2(x) $

Paso a paso — $ \sin(3x^2) $

Problema: Derivar $ f(x) = \sin(3x^2) $

Paso 1: Función exterior: $ \sin(u) \rightarrow $ derivada: $ \cos(u) $
Paso 2: Función interior: $ u = 3x^2 \rightarrow $ derivada: $ u' = 6x $
Paso 3: Regla de la cadena:

$$ f'(x) = \cos(3x^2) \cdot 6x = 6x \cos(3x^2) $$

6. Tabla Resumen

Función Original vs Su Derivada
Función $ f(x) $	Derivada $ f'(x) $
$ c \quad (\text{constante}) $	$ 0 $
$ x^n $	$ n \cdot x^{n-1} $
$ e^x $	$ e^x $
$ e^{kx} $	$ k \cdot e^{kx} $
$ \ln(x) $	$ \frac{1}{x} $
$ \sin(x) $	$ \cos(x) $
$ \cos(x) $	$ -\sin(x) $
$ \tan(x) $	$ \sec^2(x) $
$ a^x $	$ a^x \cdot \ln(a) $
$ \frac{1}{x} $	$ -\frac{1}{x^2} $

7. Herramientas Interactivas

📊 Graficador — Función y su Derivada

Ingresa una función para ver su gráfica y la de su derivada simultáneamente.

f(x) =

f(x) f'(x) (derivada numérica)

📐 Recta Tangente Dinámica

Mueve el slider para ver la recta tangente moverse en tiempo real sobre la función.

f(x) =

x = 0

f(x)—

Pendiente f'(x)—

Ecuación tangente—

🧮 Calculadora de Derivadas

Ingresa una función básica y obtén su derivada simbólica.

f(x) =

Derivada f'(x) —

Funciones soportadas: xⁿ, sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), ln(x), constantes, sumas/restas, múltiplos

Quiz — Pon a prueba lo que aprendiste

Responde 5 preguntas para verificar tu comprensión del tema.

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Función	Derivada
\( e^x \)	\( e^x \)
\( e^{kx} \)	\( k \cdot e^{kx} \)
\( a^x \)	\( a^x \cdot \ln(a) \)
\( \ln(x) \)	\( \frac{1}{x} \)
\( \log_a(x) \)	\( \frac{1}{x \cdot \ln(a)} \)

Función	Derivada	Regla clave
\( \sin(x) \)	\( \cos(x) \)	Gira +90°
\( \cos(x) \)	\( -\sin(x) \)	Gira +90° con signo negativo
\( \tan(x) \)	\( \sec^2(x) \)	Equivale a \( \frac{1}{\cos^2(x)} \)
\( \sec(x) \)	\( \sec(x)\tan(x) \)
\( \csc(x) \)	\( -\csc(x)\cot(x) \)
\( \cot(x) \)	\( -\csc^2(x) \)

Función \( f(x) \)	Derivada \( f'(x) \)
\( c \quad (\text{constante}) \)	\( 0 \)
\( x^n \)	\( n \cdot x^{n-1} \)
\( e^x \)	\( e^x \)
\( e^{kx} \)	\( k \cdot e^{kx} \)
\( \ln(x) \)	\( \frac{1}{x} \)
\( \sin(x) \)	\( \cos(x) \)
\( \cos(x) \)	\( -\sin(x) \)
\( \tan(x) \)	\( \sec^2(x) \)
\( a^x \)	\( a^x \cdot \ln(a) \)
\( \frac{1}{x} \)	\( -\frac{1}{x^2} \)