Exponenciales

$$ f(x) = a \cdot b^x $$

• \( a \): Valor inicial (cuando \( x = 0 \)).
• \( b \): Base (\( b > 0 \) y \( b \neq 1 \)).
• \( x \): El exponente (variable independiente).

$$ f(x) = A \cdot e^{kx} $$

• \( e \): Base natural (\( \approx 2.71828\dots \)).
• \( k \): Tasa de crecimiento (si es positivo) o decaimiento (si es negativo).
• \( A \): Valor inicial (condición en \( t=0 \)).

Propiedad especial: La función \( e^x \) es la única en todo el cálculo cuya derivada es exactamente ella misma: \( f'(x) = f(x) \).

$$ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} $$

La función crece sin límite conforme \( t \to +\infty \).

Ejemplo: Población de bacterias con \( k = 0.5 \) y \( N_0 = 200 \) en \( t = 4 \):

$$ N(4) = 200 \cdot e^{0.5 \cdot 4} = 200 \cdot e^2 \approx 1478 \text{ unidades} $$

$$ N(t) = N_0 \cdot e^{-kt} \quad \text{(asumiendo } k > 0 \text{ en la fórmula)}$$

La función decrece hacia cero conforme \( t \to +\infty \).

Vida media (\( t_{1/2} \)): Es el tiempo necesario para que la cantidad caiga exactamente al 50%.

$$ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \approx \frac{0.693}{k} $$

Ejemplo: Si \( k = 0.2 \), la vida media es:

$$ t_{1/2} = \frac{0.693}{0.2} \approx 3.47 \text{ unidades de tiempo} $$

Derivada (Regla de la Cadena):

$$ \frac{d}{dx} \left( e^{ax} \right) = a \cdot e^{ax} $$

Integral:

$$ \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C $$

Propiedades Algebraicas:

$$ e^{a+b} = e^a \cdot e^b $$ $$ e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} $$ $$ (e^a)^b = e^{ab} $$ $$ e^0 = 1 \quad | \quad e^1 = e $$

Crece sin límite hacia la derecha:

$$ \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty $$

Tiene una asíntota horizontal en \( y = 0 \) hacia la izquierda:

$$ \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 $$

Nota clave: La función exponencial \( e^x \) domina (crece más rápido) que cualquier polinomio \( x^n \) conforme \( x \) tiende al infinito.

• Decaimiento radiactivo: \( N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \)
  Ej: Carbono-14 con \( t_{1/2} \approx 5730 \) años (datación arqueológica).


• Crecimiento poblacional: \( P(t) = P_0 \cdot e^{rt} \)
  Ej: Con \( r = 0.02 \) (2% anual), 1 Millón pasa a 1.22 Millones en 10 años.


• Interés compuesto continuo: \( A(t) = P \cdot e^{rt} \)
  Ej: $1,000 al 5% por 10 años \( \rightarrow \$1,000 \cdot e^{0.5} \approx \$1,648.7 \).


• Descarga de un capacitor: \( V(t) = V_0 \cdot e^{-t/RC} \)
  Ej: En \( t = RC \) (constante de tiempo), el voltaje cae al 36.8% del inicial (\( 1/e \)).
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li>Enfriamiento de Newton: \( T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}}) \cdot e^{-kt} \)
Ej: Modela cómo un café a 90 °C se enfría en un ambiente de 20 °C.

Función de decaimiento:

$$ N(t) = N_0 \cdot e^{-0.3t} $$

Paso 1: Plantear la condición de vida media (la cantidad debe ser la mitad de la original).

$$ N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2} $$

Paso 2: Sustituir esta condición en la ecuación.

$$ \frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-0.3 \cdot t_{1/2}} $$

Paso 3: Cancelar \( N_0 \) de ambos lados y aplicar logaritmo natural (\( \ln \)) para bajar el exponente.

$$ \frac{1}{2} = e^{-0.3 \cdot t_{1/2}} $$ $$ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -0.3 \cdot t_{1/2} $$

Paso 4: Usar la propiedad \( \ln(1/2) = -\ln(2) \) y despejar \( t_{1/2} \).

$$ -\ln(2) = -0.3 \cdot t_{1/2} $$ $$ t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{0.3} \approx \frac{0.693}{0.3} $$

Resultado Final:

$$ t_{1/2} \approx 2.31 \text{ unidades de tiempo} $$