Funciones
Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del conjunto de entrada (dominio) le corresponde exactamente un elemento del conjunto de salida (rango). Se denota comúnmente como \( f(x) \).
1. Notación
Una función se escribe de la siguiente forma expresando una variable en términos de otra:
Donde \( x \) es la variable independiente (la que nosotros elegimos) y \( f(x) \) es el valor dependiente que produce la función (el resultado).
2. Dominio y Rango
El dominio es el conjunto de todos los valores válidos que puede tomar \( x \). El rango (o imagen) es el conjunto de todos los valores posibles resultantes de \( f(x) \).
Dada la función: \( f(x) = \sqrt{x - 3} \)
Dominio: No podemos sacar raíz cuadrada de un número negativo en los reales, por lo que lo de adentro debe ser mayor o igual a cero.
$$ x - 3 \ge 0 \quad \rightarrow \quad x \ge 3 $$ $$ D = [3, +\infty) $$Rango: El resultado de una raíz cuadrada principal siempre es positivo o cero.
$$ R = [0, +\infty) $$• Denominadores: el denominador jamás puede ser \( 0 \).
• Raíces pares: el interior (radicando) debe ser \( \ge 0 \).
• Logaritmos: el argumento interior debe ser estrictamente \( > 0 \).
3. Tipos de Funciones
Las funciones se clasifican según su expresión algebraica y comportamiento gráfico.
Donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es la ordenada al origen (intercepto en \( y \)).
Ejemplo: \( f(x) = 2x + 1 \)
- Pendiente: 2 (Sube 2 unidades en \( y \) por cada 1 unidad en \( x \)).
- Intercepto: 1 (Cruza el eje vertical en \( y = 1 \)).
- Gráfica: Línea recta infinita.
Ejemplo: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)
- Gráfica: Parábola.
- Vértice: Se calcula con \( x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2 \). Al evaluar \( f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 \). El vértice es el punto \( (2, -1) \).
- Raíces: Cruza el eje \( x \) en \( x = 1 \) y \( x = 3 \).
Ejemplo: \( f(x) = \frac{x + 2}{x - 1} \)
- Dominio: \( x \neq 1 \) (el denominador no puede ser 0).
- Asíntota vertical: Una "pared" invisible en \( x = 1 \).
- Asíntota horizontal: \( y = 1 \) (al tener el mismo grado, se dividen los coeficientes principales).
Definición formal por partes:
$$ f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} $$Ejemplo: \( f(x) = |x - 2| \)
- Vértice: En \( x = 2 \), ya que \( f(2) = 0 \). Su gráfica tiene forma de "V".
- Dominio: Todos los reales \( \rightarrow D = (-\infty, +\infty) \).
- Rango: Solo valores positivos \( \rightarrow R = [0, +\infty) \).
4. Evaluación de Funciones
Evaluar una función significa sustituir la letra \( x \) por un valor específico y calcular matemáticamente el resultado.
Problema: Evaluar la función \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) cuando \( x = 4 \).
Paso 1: Sustituir \( x = 4 \).
$$ f(4) = 3(4)^2 - 2(4) + 1 $$Paso 2: Resolver potencias y multiplicaciones.
$$ = 3(16) - 8 + 1 $$ $$ = 48 - 8 + 1 $$Resultado Final:
$$ f(4) = 41 $$Problema: Evaluar \( g(x + 1) \) en la función \( g(x) = x^2 + 3x \).
Paso 1: Sustituir cada \( x \) por la nueva expresión \( (x + 1) \).
$$ g(x + 1) = (x + 1)^2 + 3(x + 1) $$Paso 2: Expandir el binomio al cuadrado y distribuir el 3.
$$ = (x^2 + 2x + 1) + (3x + 3) $$Paso 3: Agrupar términos semejantes.
$$ g(x + 1) = x^2 + 5x + 4 $$5. Operaciones entre Funciones
Dadas dos funciones \( f \) y \( g \), podemos sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas para crear nuevas funciones algebraicas.
Dadas \( f(x) = x + 2 \) y \( g(x) = x - 1 \):
Suma:
$$ (f + g)(x) = (x + 2) + (x - 1) = 2x + 1 $$Resta:
$$ (f - g)(x) = (x + 2) - (x - 1) = 3 $$Multiplicación:
$$ (f \cdot g)(x) = (x + 2)(x - 1) = x^2 + x - 2 $$División:
$$ \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x + 2}{x - 1} \quad (\text{Restricción: } x \neq 1) $$6. Composición de Funciones
La composición consiste en meter el resultado de una función directamente dentro de otra. Es como una cadena de montaje. Se denota \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \).
Problema: Dadas \( f(x) = 2x + 1 \) y \( g(x) = x^2 \), calcular \( f(g(x)) \) y \( g(f(x)) \).
1. Calcular \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \):
$$ f(g(x)) = f(x^2) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1 $$2. Calcular \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \):
$$ g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$Nota: Observa que \( f(g(x)) \neq g(f(x)) \). La composición matemática NO es conmutativa.
7. Función Inversa
La función inversa, denotada como \( f^{-1}(x) \), es aquella que "deshace" matemáticamente lo que hizo la original. Solo existe si la función es uno a uno (biyectiva).
Problema: Hallar la inversa de \( f(x) = 3x - 6 \).
Paso 1: Escribir la función usando \( y \).
$$ y = 3x - 6 $$Paso 2: Despejar la letra \( x \).
$$ y + 6 = 3x $$ $$ x = \frac{y + 6}{3} $$Paso 3: Intercambiar las letras \( x \) e \( y \).
$$ y = \frac{x + 6}{3} $$Resultado Final:
$$ f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3} $$Verificación: \( f(f^{-1}(x)) = 3\left(\frac{x + 6}{3}\right) - 6 = x + 6 - 6 = x \) ✓
8. Funciones Par e Impar
Esta clasificación nos ayuda a identificar rápidamente la simetría de una gráfica sin tener que dibujarla.
Función PAR (Simétrica en el eje Y): El signo negativo desaparece.
$$ f(-x) = f(x) $$Ejemplo: \( f(x) = x^2 \rightarrow f(-x) = (-x)^2 = x^2 \quad \) (PAR)
Función IMPAR (Simétrica en el origen): El signo negativo sale por completo de la función.
$$ f(-x) = -f(x) $$Ejemplo: \( f(x) = x^3 \rightarrow f(-x) = (-x)^3 = -x^3 \quad \) (IMPAR)
Nota: Si al sustituir \( -x \) no obtienes ni la función original ni su versión negativa (ej. \( f(x) = x + 1 \)), la función no es ni par ni impar.
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