Ecuaciones

Contenido de esta lección

Una ecuación es una igualdad matemática que contiene una o más incógnitas. Resolver una ecuación significa encontrar el valor (o valores) de la incógnita que hacen verdadera la igualdad.

1. Conceptos Básicos

Toda ecuación tiene dos partes separadas por el signo \( = \). El objetivo es despejar la incógnita aplicando operaciones inversas en ambos lados.

Anatomía de una ecuación

Identificamos las partes principales:

$$ \underbrace{2x + 5}_{\text{Lado izquierdo}} = \underbrace{13}_{\text{Lado derecho}} $$
  • Incógnita: \( x \)
  • Solución: el valor de \( x \) que hace la igualdad verdadera.
💡 Principio de igualdad: Lo que se hace a un lado de la ecuación debe hacerse también al otro lado para mantener el equilibrio.

2. Ecuaciones Lineales (Primer Grado)

Son ecuaciones donde la incógnita aparece con exponente 1. Su forma general es \( ax + b = c \).

Paso a paso — Ecuación simple

Resolver: \( 2x + 5 = 13 \)

Paso 1: Restar 5 en ambos lados.

$$ 2x + 5 - 5 = 13 - 5 $$ $$ 2x = 8 $$

Paso 2: Dividir entre 2.

$$ x = \frac{8}{2} $$ $$ x = 4 $$

Verificación: \( 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13 \) ✓

Paso a paso — Con incógnita en ambos lados

Resolver: \( 5x - 3 = 2x + 9 \)

Paso 1: Pasar los términos con \( x \) al lado izquierdo (restando \( 2x \)).

$$ 5x - 2x - 3 = 9 $$ $$ 3x - 3 = 9 $$

Paso 2: Sumar 3 en ambos lados.

$$ 3x = 12 $$

Paso 3: Dividir entre 3.

$$ x = 4 $$

Verificación: \( 5(4) - 3 = 17 \) y \( 2(4) + 9 = 17 \) ✓

Paso a paso — Con paréntesis

Resolver: \( 3(x - 2) = 2(x + 4) \)

Paso 1: Distribuir en ambos lados.

$$ 3x - 6 = 2x + 8 $$

Paso 2: Agrupar términos con \( x \) a la izquierda y números a la derecha.

$$ 3x - 2x = 8 + 6 $$ $$ x = 14 $$

Verificación: \( 3(14 - 2) = 3(12) = 36 \) y \( 2(14 + 4) = 2(18) = 36 \) ✓

3. Ecuaciones Cuadráticas (Segundo Grado)

Son ecuaciones donde la incógnita aparece con exponente 2. Su forma general es \( ax^2 + bx + c = 0 \). Pueden tener dos, una o ninguna solución real.

Método 1 — Factorización

Resolver: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Paso 1: Buscar dos números que multiplicados den 6 y sumados den -5 (Esos son -2 y -3).

Paso 2: Factorizar.

$$ (x - 2)(x - 3) = 0 $$

Paso 3: Igualar cada factor a cero.

$$ x - 2 = 0 \quad \rightarrow \quad x = 2 $$ $$ x - 3 = 0 \quad \rightarrow \quad x = 3 $$

Soluciones: \( x = 2 \) y \( x = 3 \)

Método 2 — Fórmula General (Chicharronera)

La fórmula general es:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Resolver: \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) (Donde \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=-2 \)).

Paso 1: Calcular el discriminante (\( \Delta \)).

$$ \Delta = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 $$

Paso 2: Aplicar la fórmula.

$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} $$

Paso 3: Extraer las dos soluciones.

$$ x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 $$

Soluciones: \( x = 1/2 \) y \( x = -2 \)

El discriminante (\( \Delta = b^2 - 4ac \)) indica el número de soluciones:
• \( \Delta > 0 \) → Dos soluciones reales distintas.
• \( \Delta = 0 \) → Una solución real (raíz doble).
• \( \Delta < 0 \) → No hay soluciones reales (soluciones complejas).
Método 3 — Completar el cuadrado

Resolver: \( x^2 + 6x + 5 = 0 \)

Paso 1: Pasar la constante al otro lado.

$$ x^2 + 6x = -5 $$

Paso 2: Sumar \( (b/2)^2 = (6/2)^2 = 9 \) en ambos lados para formar un trinomio cuadrado perfecto.

$$ x^2 + 6x + 9 = -5 + 9 $$ $$ (x + 3)^2 = 4 $$

Paso 3: Sacar raíz cuadrada en ambos lados.

$$ x + 3 = \pm 2 $$

Paso 4: Despejar \( x \).

$$ x_1 = -3 + 2 = -1 $$ $$ x_2 = -3 - 2 = -5 $$

Soluciones: \( x = -1 \) y \( x = -5 \)

4. Sistemas de Ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas incógnitas. La solución es el valor de cada variable que satisface todas las ecuaciones simultáneamente.

Método de Sustitución

Sistema:

$$ (1) \quad x + y = 10 $$ $$ (2) \quad 2x - y = 5 $$

Paso 1: Despejar \( x \) de la ecuación (1).

$$ x = 10 - y $$

Paso 2: Sustituir esta expresión en la ecuación (2).

$$ 2(10 - y) - y = 5 $$ $$ 20 - 2y - y = 5 $$ $$ 20 - 3y = 5 $$ $$ -3y = -15 \quad \rightarrow \quad y = 5 $$

Paso 3: Sustituir \( y \) en la ecuación despejada.

$$ x = 10 - 5 = 5 $$

Solución: \( x = 5 \), \( y = 5 \) ✓

Método de Eliminación (Suma y Resta)

Sistema:

$$ (1) \quad 3x + 2y = 12 $$ $$ (2) \quad 3x - y = 6 $$

Paso 1: Restar (2) de (1) para eliminar \( x \).

$$ (3x + 2y) - (3x - y) = 12 - 6 $$ $$ 3y = 6 \quad \rightarrow \quad y = 2 $$

Paso 2: Sustituir \( y \) en la ecuación (2).

$$ 3x - 2 = 6 $$ $$ 3x = 8 \quad \rightarrow \quad x = \frac{8}{3} $$

Solución: \( x = 8/3 \), \( y = 2 \) ✓

5. Ecuaciones con Fracciones

Para resolver ecuaciones con fracciones, el truco es multiplicar todos los términos por el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores para desaparecerlos.

Paso a paso — Ecuación con fracciones

Resolver:

$$ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 $$

Paso 1: El MCM de 2 y 3 es 6. Multiplicamos todo por 6:

$$ 6\left(\frac{x}{2}\right) + 6\left(\frac{x}{3}\right) = 6(5) $$ $$ 3x + 2x = 30 $$

Paso 2: Simplificar y resolver.

$$ 5x = 30 \quad \rightarrow \quad x = 6 $$

Verificación: \( \frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5 \) ✓

6. Errores Comunes

❌ Error 1 — No aplicar la operación en ambos lados:

Incorrecto: \( 2x + 4 = 10 \quad \rightarrow \quad 2x = 10 \) (se olvidó restar 4 al lado derecho)

Correcto: \( 2x + 4 = 10 \quad \rightarrow \quad 2x = 6 \quad \rightarrow \quad x = 3 \)

❌ Error 2 — No distribuir correctamente el paréntesis:

Incorrecto: \( 2(x + 3) = 2x + 3 \)

Correcto: \( 2(x + 3) = 2x + 6 \)

❌ Error 3 — Equivocarse de signo al despejar:

Incorrecto: \( x - 5 = 3 \quad \rightarrow \quad x = 3 - 5 = -2 \)

Correcto: \( x - 5 = 3 \quad \rightarrow \quad x = 3 + 5 = 8 \)

Quiz — Pon a prueba lo que aprendiste

Responde 5 preguntas para verificar tu comprensión del tema.

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