Series y Sucesiones

Una sucesión es una función que asigna un número real a cada número natural: \( a : \mathbb{N} \to \mathbb{R} \)

Se escribe como una lista:

$$ a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots $$

Y se denota comúnmente como \( \{a_n\} \) o simplemente \( a_n \).

Convergencia: Una sucesión converge a un límite \( L \) si los términos se acercan a \( L \) conforme \( n \) crece:

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = L $$

Si el límite no existe o es infinito, la sucesión diverge.

• \( a_n = n \quad \rightarrow \quad 1, 2, 3, 4, \dots \quad \) (Diverge a \( \infty \))
• \( a_n = \frac{1}{n} \quad \rightarrow \quad 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots \quad \) (Converge a \( 0 \))
• \( a_n = (0.5)^n \quad \rightarrow \quad 0.5, 0.25, 0.125, \dots \quad \) (Converge a \( 0 \))
• \( a_n = (-1)^n \quad \rightarrow \quad -1, 1, -1, 1, \dots \quad \) (Diverge, oscila)

Dada una sucesión \( \{a_n\} \), su serie es la suma desde \( n=1 \) hasta el infinito:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots $$

La n-ésima suma parcial agrupa los primeros \( n \) términos:

$$ S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n $$

Si el límite de las sumas parciales \( \lim_{n \to \infty} S_n = S \) es un número finito, decimos que la serie converge a \( S \).

Ejemplos clásicos:

• \( \sum \frac{1}{n^2} \quad \rightarrow \quad \) Converge a \( \frac{\pi^2}{6} \) ✓
• \( \sum \frac{1}{n} \quad \rightarrow \quad \) Diverge (Serie Armónica) ✗

Si el límite del término general no es cero, es imposible que la suma finita exista:

$$ \text{Si } \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \implies \text{La serie diverge.} $$

⚠️ Cuidado: Si el límite es \( 0 \), la prueba no concluye nada (Ej: la serie armónica \( \sum 1/n \) diverge aunque su límite es 0).

Ejemplo: \( \sum \frac{n}{n+1} \) diverge porque \( \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \neq 0 \).

Tiene la forma \( \sum a \cdot r^n \).

• Converge si el valor absoluto de la razón \( |r| < 1 \). La suma es \( S = \frac{a}{1 - r} \).
• Diverge si \( |r| \ge 1 \).

Ejemplo: \( \sum (0.5)^n \rightarrow S = \frac{1}{1 - 0.5} = 2 \)

Calculamos el límite de la división entre el término siguiente y el actual:

$$ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $$

• \( L < 1 \rightarrow \) Converge absolutamente.
• \( L > 1 \rightarrow \) Diverge.
• \( L = 1 \rightarrow \) Prueba inconclusa.

Súper útil cuando hay factoriales ( \( n! \) ) o exponentes constantes a la \( n \).

Calculamos el límite de la raíz n-ésima del término:

$$ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} $$

• \( L < 1 \rightarrow \) Converge.
• \( L > 1 \rightarrow \) Diverge.
• \( L = 1 \rightarrow \) Prueba inconclusa.

Útil cuando todo el término está elevado a la \( n \). Ej: \( \sum \left(\frac{2n}{n+1}\right)^n \)

$$ \sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots $$

• \( a \): Primer término (o coeficiente).
• \( r \): Razón común (ratio).

Si \( |r| < 1 \), la suma exacta es: \( S = \frac{a}{1 - r} \)

Paso 1: Escribimos la suma infinita \( S \).

$$ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots $$

Paso 2: Multiplicamos todo por \( r \).

$$ rS = ar + ar^2 + ar^3 + \dots $$

Paso 3: Restamos la segunda ecuación a la primera (\( S - rS \)). ¡Todos los términos del medio se cancelan!

$$ S - rS = a $$

Paso 4: Factorizamos \( S \) y despejamos.

$$ S(1 - r) = a \quad \implies \quad S = \frac{a}{1 - r} \quad \text{✓} $$

Función Exponencial (\( e^x \)): Converge para todo \( x \in \mathbb{R} \).

$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots $$

Seno (\( \sin x \)): Compuesta solo por términos impares.

$$ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots $$

Coseno (\( \cos x \)): Compuesta solo por términos pares.

$$ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots $$

Al observar la forma \( a \cdot r^n \), identificamos que es una serie geométrica con \( a = 3 \) y \( r = 0.5 \).

Paso 1: Verificar el criterio de convergencia (\( |r| < 1 \)).

$$ |0.5| = 0.5 < 1 \quad \text{(¡Cumple! La serie converge)} $$

Paso 2: Aplicar la fórmula de la suma de la serie geométrica.

$$ S = \frac{a}{1 - r} $$

Paso 3: Sustituir los valores y resolver.

$$ S = \frac{3}{1 - 0.5} $$ $$ S = \frac{3}{0.5} $$ $$ S = 6 $$

Conclusión: La serie infinita converge a un valor exacto de \( S = 6 \).